¿Puede existir un sistema electoral capaz de garantizar al mismo tiempo que cada territorio conserve su representación, que el reparto de escaños refleje exactamente el porcentaje de votos obtenido por cada partido y que el tamaño del Parlamento permanezca estable? La respuesta de un nuevo trabajo matemático es negativa, al menos cuando el número de partidos alcanza determinados niveles de fragmentación.
Investigadores de la University of Cambridge y de la University of Copenhagen han formulado un teorema de imposibilidad que demuestra que los sistemas electorales tienen que afrontar necesariamente determinados compromisos cuando aumenta el número de fuerzas políticas. El trabajo analiza tanto sistemas proporcionales como modelos de representación mayoritaria y concluye que no es posible garantizar simultáneamente tres condiciones consideradas esenciales para una elección plenamente justa.
La investigación ha sido realizada por Frederik Ravn Klausen, del Departamento de Matemáticas Puras y Estadística Matemática de Cambridge, y Sebastian Tim Holdum, de la Universidad de Copenhague. Sus resultados han sido publicados en Annals of Operations Research bajo el título Impossibility theorem for two-tier electoral systems.
Tres principios que entran en conflicto
Los investigadores identifican tres características fundamentales que cualquier sistema electoral podría aspirar a garantizar.
La primera es la representación territorial o regionalidad: si un candidato gana un escaño en su circunscripción, debe conservarlo. La segunda es la proporcionalidad, según la cual el porcentaje total de escaños de cada partido debería corresponderse con su porcentaje de votos. La tercera es que el tamaño del Parlamento permanezca fijo, de manera que el número de diputados no tenga que aumentar después de cada elección para corregir las desviaciones entre votos y escaños.
El problema aparece cuando crece la fragmentación política. A partir de un determinado número de partidos, las matemáticas impiden mantener simultáneamente las tres condiciones. Alguno de los principios tiene que ceder.
La conclusión no implica que las elecciones sean fraudulentas ni que los sistemas electorales estén diseñados necesariamente para perjudicar a determinados partidos. El propio Klausen resume el hallazgo señalando que no se trata de corrupción o conspiración, sino de una consecuencia matemática de las reglas utilizadas para transformar votos en representación parlamentaria.
Dinamarca, el punto de partida de la investigación
La investigación comenzó a raíz de las elecciones generales danesas de 2022, cuando por primera vez en 75 años el reparto de votos y escaños dejó de corresponderse como estaba previsto en el sistema proporcional del país.
Dinamarca utiliza un sistema de dos niveles. Los ciudadanos eligen representantes territoriales y posteriormente se asignan escaños de compensación o “levelling seats” para intentar que el reparto final de diputados se aproxime a la proporción nacional de votos obtenida por cada partido.
El problema es que el incremento de la fragmentación política exige cada vez más escaños de compensación. En las elecciones de 2022, los 40 escaños de compensación disponibles dejaron de ser suficientes para garantizar completamente la proporcionalidad. Como consecuencia, los socialdemócratas terminaron obteniendo un escaño más del que les correspondía según sus votos.
La discrepancia puede parecer pequeña, pero tuvo una importancia política considerable: aquel único escaño terminó siendo decisivo para el resultado electoral.
Ese episodio llevó a los investigadores a preguntarse si lo sucedido en Dinamarca era simplemente una anomalía o si respondía a un problema matemático más general. Su conclusión fue que el conflicto entre los tres principios aparece en diferentes sistemas electorales y puede agravarse a medida que aumenta el número de partidos.
El caso británico: proporcionalidad frente a representación territorial
El Reino Unido constituye el ejemplo contrario. Su sistema de first-past-the-post prima la representación territorial y la elección directa del candidato que obtiene más votos en cada circunscripción, pero puede producir importantes diferencias entre el porcentaje de votos nacionales y el número de escaños.
Las elecciones generales británicas de 2024 fueron especialmente ilustrativas. El Partido Laborista consiguió aproximadamente el 33,7% de los votos, pero obtuvo 411 de los 650 escaños, alrededor del 63% de la Cámara de los Comunes. Por su parte, Reform UK logró el 14,3% de los votos, pero solo consiguió cinco diputados.
El caso británico muestra qué ocurre cuando se prioriza la representación territorial y el Parlamento mantiene un tamaño fijo: el principio que termina sacrificándose es la proporcionalidad.
Y, según los investigadores, el problema puede aumentar si continúa la fragmentación del sistema de partidos británico. Cuanto mayor sea la dispersión del voto entre diferentes formaciones, mayor puede ser la distancia entre votos obtenidos y escaños conseguidos.
Alemania: cuando la proporcionalidad hace crecer el Parlamento
Alemania ofrece un ejemplo diferente. Su sistema ha intentado combinar la representación territorial con una elevada proporcionalidad mediante mecanismos de compensación.
El resultado fue un crecimiento considerable del tamaño del Bundestag. Tras las elecciones de 2021, la Cámara alemana llegó a tener 736 diputados, frente a los 598 previstos inicialmente. La proliferación de escaños adicionales era consecuencia de la necesidad de compensar las diferencias entre representación territorial y proporcionalidad.
En 2023 Alemania reformó su sistema para impedir que el Bundestag continuara creciendo indefinidamente. Pero para mantener fijo el tamaño de la Cámara tuvo que renunciar a garantizar que todos los candidatos que ganasen directamente una circunscripción conservaran necesariamente su escaño.
Suecia ha adoptado también un modelo que prioriza la proporcionalidad y el control del tamaño parlamentario, asumiendo igualmente determinadas consecuencias sobre la representación territorial.
La fragmentación política cambia las reglas del juego
El elemento que aparece detrás de todos estos casos es la fragmentación política. Los sistemas electorales fueron diseñados, en muchos casos, en contextos en los que existían dos grandes partidos o bloques políticos. Cuando aparecen nuevas formaciones y el voto se reparte entre un número creciente de partidos, las reglas dejan de producir los mismos resultados.
En los sistemas proporcionales, esto puede exigir un mayor número de escaños de compensación para mantener la correspondencia entre votos y diputados. En los sistemas mayoritarios, la fragmentación puede incrementar la distancia entre el porcentaje de votos obtenido por una formación y el número de escaños que finalmente consigue.
La investigación de Cambridge plantea así una cuestión de creciente relevancia en las democracias occidentales: ¿qué debe sacrificarse cuando ya no es posible mantener simultáneamente proporcionalidad, representación territorial y un Parlamento de tamaño fijo?
El estudio no se limita a demostrar la imposibilidad. Klausen y Holdum proponen además un mecanismo alternativo denominado “geographically ranked guaranteed proportionality”, que pretende mantener una proporcionalidad nacional garantizada y, al mismo tiempo, utilizar el rendimiento de los candidatos en cada circunscripción para determinar qué escaños obtiene finalmente cada partido.
El procedimiento establecería antes de las elecciones cuántos escaños corresponden a cada partido en función del porcentaje nacional de votos. Posteriormente, los escaños de cada formación se asignarían siguiendo una clasificación basada en la fortaleza de sus resultados territoriales.
Por ejemplo, si un partido obtiene el 20% de los votos nacionales, tendría garantizado el 20% de los escaños. Después, sus candidatos serían ordenados según la fortaleza de sus resultados locales y los escaños se asignarían siguiendo ese orden. Pero tampoco este modelo consigue eliminar completamente el problema.
Un candidato podría ganar holgadamente su circunscripción y, sin embargo, quedarse sin escaño si su partido ya hubiera utilizado su cuota nacional de diputados en otras circunscripciones donde sus candidatos hubieran obtenido mejores resultados relativos. El sistema garantizaría la proporcionalidad, pero sacrificaría parcialmente la representación territorial.
No existe la fórmula electoral perfecta
La principal conclusión del trabajo es, por tanto, menos espectacular que una afirmación de que las matemáticas han encontrado el sistema electoral ideal, pero posiblemente más importante: no existe una fórmula capaz de maximizar simultáneamente todos los principios considerados deseables cuando el sistema político alcanza cierto nivel de fragmentación.
Eso significa que las discusiones sobre reformas electorales no pueden plantearse únicamente en términos de qué sistema es “justo” o “injusto”. Cada modelo prioriza determinados valores democráticos sobre otros.
Un sistema mayoritario puede proporcionar una relación territorial directa entre diputado y circunscripción, pero generar importantes diferencias entre votos y escaños. Un sistema proporcional puede reflejar mejor el voto nacional, pero necesitar mecanismos de compensación que compliquen la representación territorial o incrementen el tamaño del Parlamento.
La cuestión fundamental pasa entonces a ser qué equilibrio considera más adecuado cada sociedad.
Una cuestión matemática con consecuencias políticas
El interés del estudio de Cambridge reside precisamente en trasladar un debate tradicionalmente político al terreno de las matemáticas. Las preferencias sobre un sistema electoral pueden ser ideológicas, pero las consecuencias de sus reglas pueden analizarse mediante modelos matemáticos.
La investigación demuestra que determinados conflictos no dependen de la voluntad de los legisladores ni de las preferencias de los partidos. Surgen de la propia estructura del problema: transformar millones de votos distribuidos territorialmente en un número limitado de escaños obliga inevitablemente a establecer reglas de asignación.
Por eso, cuando aumenta el número de partidos, las tensiones que antes podían ser pequeñas pueden hacerse visibles y tener consecuencias políticas importantes. El caso danés de 2022 constituye un ejemplo de cómo una desviación aparentemente mínima puede resultar decisiva cuando una elección se decide por un solo escaño.
El trabajo de Cambridge introduce así una conclusión especialmente relevante para el futuro de las democracias europeas: la creciente fragmentación política no solo modifica los Parlamentos, sino que también pone a prueba las propias matemáticas con las que esos Parlamentos son construidos.
La discusión sobre proporcionalidad, circunscripciones y reformas electorales seguirá siendo inevitablemente política. Pero, a partir de este estudio, también tiene una dimensión matemática difícil de ignorar: cuando hay que repartir un número limitado de escaños entre partidos cada vez más numerosos y territorios con comportamientos electorales diferentes, alguna de las reglas que consideramos “justas” tendrá necesariamente que ceder.
